Vanaf het begin der tijden moet de mens begrip hebben gehad van getallen, afmetingen en vorm. Zie voor de geschiedenis van de wiskunde: Wikipedia.
Vanaf de achttiende eeuw is de wiskunde zeer succesvol geworden in het beschrijven van natuurkundige verschijnselen.
Vanaf eind negentiende eeuw is de wiskunde verantwoordelijk geweest van allerlei voorspellingen in de natuurkunde.
Zo ontstond de speciale relativiteitstheorie. Hierop was reeds vooruitgelopen in de werken van de Nederlander Hendrik Lorentz (1853-1928), met belangrijke inzichten van Henri Poincaré (1854-1912). Deze benadering kwam echter tot volledige rijping in het werk van Albert Einstein (1879-1955). Een andere revolutionaire ontwikkeling in de twintigste eeuw was de kwantummechanica, die is voortgekomen uit de fundamentele bijdragen van Max Planck (1856-1947, over zwartlichaamstraling) en Einsteins werk over het foto-elektrisch effect. Zie voor de geschiedenis van de mathematische fysica: Wikipedia.
De wiskunde is door deze successen bijna synoniem aan de natuurkunde. Alles wat aan de hand de wiskunde bewezen kan worden blijkt vroeger of later ook te bestaan in de natuur. Zo is bijvoorbeeld het Higgsdeeltje in 1964 voorspeld en uiteindelijk maakte CERN op 4 juli 2012 officieel bekend dat er een nieuw deeltje (met een heeltallige spin ongelijk aan 1 en daarom mogelijk het higgsdeeltje) gevonden was.
Omdat de natuur zo prachtig door de wiskunde kan worden beschreven zijn we bijna gaan geloven dat alles wat in de wiskunde mogelijk is ook in de natuur kan voorkomen. Maar dit is zeker niet waar.
Een voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen: {0, 1, 2, …}. Dit is misschien het eenvoudigste voorbeeld van een verzameling die in de natuur niet voorkomt. Er bestaan namelijk niet zoiets als oneindig veel sterrenstelsels, sterren, planeten en zelfs moleculen. Hieruit volgt ook dat er geen oneindige hoeveelheid energie bestaat.
Laats had ik een discussie met een docent wiskunde die wel degelijk gelooft dat oneindigheid in de natuur voorkomt. “Denk maar eens aan het getal π” zei hij, “Dat is een getal met oneindig veel decimalen achter de komma”.
Inderdaad is π het getal dat nauwkeurig de verhouding weergeeft van de diameter van een cirkel met zijn omtrek. Maar je kunt rustig stellen dat perfecte cirkels in de natuur niet voorkomen en dus bestaat er in de natuur geen getal π dat precies de verhouding weergeeft tussen de diameter van een niet perfecte cirkel met zijn omtrek.
Nog zo lang geleden hebben we het optreden van Robbert Dijkgraaf kunnen zien over oneindigheid.
(Vara, Vrijdag 28 nov 2014) In dat programma maakte Robbert Dijkgraaf een aantal zaken duidelijk. Aan de hand van een aantal huis-, tuin- en keukenmiddelen liet hij zien hoeveel zandkorrels je nodig om aan een gelijk aantal te komen van het aantal sterrenstelsels.
Toen hij het over oneindigheid kreeg ging hij als voorbeeld voor een beeldscherm staan waarop hijzelf was afgebeeld met daarop weer het zelfde beeldscherm. Welaan zei hij, “Dit is oneindig”. Maar juist deze voorstelling laat zien dat oneindig niet opgaat. Het beeld van het beeldscherm in het beeldscherm wordt namelijk steeds kleiner. Je kunt toch moeilijk volhouden dat als die afmeting de grootte van een pixel heeft bereikt je nog over een afbeelding kunt spreken.
Maar nu kan iemand opmerken dat oneindig bestaat bij de gratie dat nul bestaat. In de wiskunde is een getal gedeeld door nul weliswaar onbepaald maar gaat de de deling van een getal door een getal dat naar nul namelijk naar oneindig. Maar ook van het getal nul kan worden aangetoond dat deze niet voorkomt in de natuur, net als overigens alle gehele getallen.
Een geheel getal heet ‘geheel’ omdat het zonder fractionele of decimale componenten kan worden geschreven.
(Wikipedia)
Een geheel getal is dus per definitie een getal met achter de komma oneindig veel nullen. In de wiskunde spreken met groot gemak over bijvoorbeeld de som van 2 en 3, die gelijk is aan 5. Je kunt dit eenvoudig op een hand narekenen. En met 2, 3 en 5 bedoelen we gehele getallen.
Nu lijkt dit intuïtief waar maar is het aantoonbaar niet waar. Zo zijn bijvoorbeeld onze vingers aan een hand niet aan elkaar gelijk. Als iemand zegt dat hij een kratje bier heeft opgehaald dan heeft niemand daar moeite mee. Maar het betekent wel dat als we het in het dagelijks gebruik over een geheel getal hebben dit in de praktijk neerkomt op grootte met een bepaalde foutenmarge. Het ene biertje is namelijk niet geheel gelijk aan het andere biertje. Het is zelfs zo dat dat ene biertje even later al niet meer voldoet aan de definitie van dat ene biertje omdat er even later al weer een paar moleculen verdampt zijn.
We kunnen dus rustig stellen dat gehele getallen, inclusief het getal 0, in de natuur niet voorkomen. Als we het in het dagelijks leven over gehele getallen hebben dan bedoelen we zaken die gedurende een bepaalde tijd een bepaalde grootte met een zekere foutmarge hebben.
Zie ook: Weg met oneindigheid! – 24 oktober 2013